Minggu, 15 Mei 2011

Pendinginan Newton

Jika kamu menaruh sebuah benda yang suhunya lebih tinggi dari suhu sekitarnya, maka secara perlahan-lahan benda itu pasti akan mendingin, akan terjadi perpindahan kalor dari benda ke lingkungannya, baik secara konduksi, konveksi maupun radiasi. Yang penting benda tersebut tidak menyerap kalor atau diberi kalor yang dapat mempertahankan atau menaikkan suhunya. Maka pelan-pelan benda akan menyamakan suhunya dengan lingkungannya. Bisakah kamu membuat pernyataan matematik dari peristiwa pendinginan benda yang seperti ini?

Misalnya suhu benda 40 derajat Celcius pada ruangan yang bersuhu 25 derajat Celcius. Dalam 1 menit pertama, ternyata suhunya berkurang sebesar 2 derajat Celcius. Dapatkah kamu menentukan kapan benda mencapai suhu 30 derajat? Kapan benda mencapai suhu 26 derajat? Kapan benda mencapai suhu 25,1 derajat? Kapan benda mencapai suhu 25 derajat? Hati-hati bahwa penurunan suhu tidaklah linier terhadap waktu! Bagaimana menyelesaikan persoalan ini? Darimana harus mulai?

Untunglah Newton telah melakukannya! Hehe... ternyata penyelesaian persamaan ini membutuhkan matematika kalkulus yang disebut persamaan differensial orde 1. Nih rumus pendinginan yang dituliskan oleh Newton :

dT/dt = k (T - TL), k > 0

T adalah suhu benda pada waktu t
TL adalah suhu lingkungan
k adalah konstanta pendinginan

Solusi persamaan di atas harus dipecahkan secara kalkulus. Gak usah diturunkan disini ah...
Nah, solusinya adalah :

T = TL + c.e^(k.t)

c adalah konstanta integrasi, diperoleh jika diketahui keadaan awal
e adalah bilangan natural
k diperoleh jika diketahui satu keadaan lagi.

Rumusnya sederhana ya.... (sederhana Mbah-mu, hehehe...). Langsung menuju contoh soal ....

Suatu benda dengan suhu 80 derajat celcius diletakkan di ruangan yang bersuhu 50 derajat celcius. Dalam waktu 5 menit, suhu benda itu menjadi 70 derajat celcius. Carilah :
a. Fungsi suhu pada saat t (anggap benda pada suhu 80 derajat adalah pada saat t = 0 detik)
b. Tentukan suhu benda pada menit ke sepuluh!
c. Kapan benda bersuhu 60 derajat celcius?
d. Kapan benda bersuhu sama dengan suhu ruangan?

JAWAB :
TL = 50
Keadaan awal  : T(0) = 80,
Keadaan lain : T(5) = 70
Masukkan data yang diketahui pada solusi persamaan pendinginan Newton, jadi :
T = 50 + c.e^(k.t)

Masukkan keadaan awal, maka diperoleh c = 30
Masukkan keadaan lain, maka diperoleh e^k = (2/3)^(1/5) = 0,9221
Jadi diperoleh fungsi suhu benda T terhadap waktu t, yaitu :
T(t) = 50 + 30.0,9221^t

Maka bereskan pertanyaan yang lain :
Besar suhu setelah 10 menit : T(10) = 50 + 30.0,9221^t = 63,33 derajat
Waktu supaya benda bersuhu 60 derajat : 60 = 50 + 30.0,9221^t , diperoleh t = 13,55 menit
Waktu supaya benda bersuhu ruangan : 50 = 50 + 30.0,9221^t , diperoleh t = tak berhingga/tak terdefinisi,
artinya suhu benda tidak akan pernah sama dengan suhu ruangan! Lhoooo... Kok bisa ya? Coba deh dipikirkan sendiri....

Kalo dah kepikiran, coba kerjain soal di cerita awal tadi ya sebagai latihan.... (pake kalkulator scientificmu)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar